Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；（2）当a∈（0，3

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer 1

（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x 所以x=-1或x=1； （2） f(x)= x 2 -ax+1，x≥a - x 2 +ax+1，x＜a ， 1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x 2 -ax+1，对称轴 x= a 2 ≤ 1 2 ＜1 ， 所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x） min =f（1）=2-a； 2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x） min =f（a）=1； 3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x 2 +ax+1，对称轴 x= a 2 ∈(1， 3 2 ) ， f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0 所以函数f（x） min =f（2）=2a-3； （3）因为a＞0，所以 a＞ a 2 ， 所以y 1 =x 2 -ax+1在[a，+∞）上递增；y 2 =-x 2 +ax+1在 (-∞， a 2 ) 递增，在 [ a 2 ，a) 上递减． 因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点； 又 f( a 2 )= a 2 4 +1≥2? a 2 ?1=a ，当且仅当a=2时，等号成立． 所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点； 当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点； 当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点； 当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点； 当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．