Question

如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。

如图，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由。

Answer 1

解：（1）CD=BE；理由如下 ∵△ABC和△ADE为等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC， ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE≌△ACD， ∴CD=BE； （2）△AMN是等边三角形；理由如下： ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD， ∵M、N分别是BE、CD的中点， ∴BM= ， ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM≌△ACN， ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形， 设AD=a，则AB=2a， ∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE， ∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ECD=30°， ∴∠ADC=90°， ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°， ∴CD= ， ∵N为DC中点， ∴ ， ∴ ， ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S △ADE ∶S △ABC ∶S △AMN = 。