Question

已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，

已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 　 　 ，QE与QF的数量关系式 　 　 ；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

解：（1）AE∥BF，QE=QF。 （2）QE=QF，证明如下： 如图，延长FQ交AE于D，   ∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。 在△FBQ和△DAQ中，∵ ， ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。 ∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。 ∴QE=QF=QD，即QE=QF。 （3）（2）中的结论仍然成立。证明如下： 如图，延长EQ、FB交于D， ∵AE∥BF，∴∠1=∠D。 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。 ∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。

（1）证△BFQ≌△AEQ即可。理由是： 如图，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ。 ∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ。 在△BFQ和△AEQ中， ，∴△BFQ≌△AEQ（AAS）。∴QE=QF。 （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。 （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可。