Question

已知F 1 ，F 2 是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－ ，1)在椭圆上，线段PF 2 与y轴的

已知F 1 ，F 2 是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－ ，1)在椭圆上，线段PF 2 与y轴的交点M满足 ＋ ＝0．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x 0 ，y 0 )关于直线y＝2x的对称点为N 1 (x 1 ，y 1 )，求3x 1 －4y 1 的取值范围．

Answer 1

（1） ＋ ＝1    （2）[－10,10]

(1)点P(－ ，1)在椭圆上， ∴ ＋ ＝1．① 又∵ ＋ ＝0，M在y轴上， ∴M为PF 2 的中点， ∴－ ＋c＝0，c＝ ． ∴a 2 －b 2 ＝2，② 联立①②，解得b 2 ＝2(b 2 ＝－1舍去)， ∴a 2 ＝4． 故所求椭圆C的方程为 ＋ ＝1． (2)∵点N(x 0 ，y 0 )关于直线y＝2x的对称点为N 1 (x 1 ，y 1 )， ∴ 解得 ∴3x 1 －4y 1 ＝－5x 0 ． ∵点N(x 0 ，y 0 )在椭圆C： ＋ ＝1上， ∴－2≤x 0 ≤2， ∴－10≤－5x 0 ≤10， 即3x 1 －4y 1 的取值范围为[－10,10]．