Question

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心②若∠ABC=90°，H是斜边AC上的中点，则PA=PB=PC③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心④若P到△ABC的三边的距离相等，则H为△ABC的内心其中正确命题的是（　　）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④

Answer 1

解：∵三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，
当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PH⊥底面ABC，则PH⊥BC，进而BC⊥平面PAH，即AH⊥BC，
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心，即①正确；
若∠ABC=90°，H是斜边AC上的中点，则HA=HB=HC，由勾股定理易得PA=PB=PC，故②正确；
若PA=PB=PC，由勾股定理易得HA=HB=HC，故③H是△ABC的外心正确；
如图P是△ABC所在平面外一点，若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得HE，HF，HD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点H是三角形的内心，故④正确
故选D