Question

已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且2Sn=4an-1

已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且2Sn=4an -1。在数列bn中，b(n+1)=bn- 2，b4+b8=-16
①求an，bn
②设cn=bn/an，求数列cn前项和和Tn

Answer 1

如图，等差数列、等比数列、错位相减法

Answer 2

⑴、2Sn=4an-1，
——》2S1=2a1=4a1-1，——》a1=1/2，
2S(n-1)=4a(n-1)-1，
——》2an=2Sn-2S(n-1)=4an-4a(n-1)，——》an=2a(n-1)，
——》an=a1*2^(n-1)=2^(n-2)；
b(n+1)=bn- 2，——》b(n+1)-bn=-2=d，

——》bn为等差数列，设bn=b1-2(n-1)，
b4+b8=b1-6+b1-14=-16，——》b1=2，

——》bn=2-2(n-1)=4-2n；
⑵、cn=bn/an=(4-2n)/2^(n-2)=1/2^(n-4)-n/2^(n-3)=c1n-c2n，
即c1n=1/2^(n-4)，为等比数列，c2n=n/2^(n-3)
T1n=8+4+2+...+1/2^(n-4)=8*(1-1/2^n)/(1-1/2)=16-1/2^(n-4)，
T2n=4+4+3+2+...+n/2^(n-3)，
T2n/2=2+2+3/2+1+...+n/2^(n-2)，
上式-下式错位相减得：
T2n/2=4+[2+1+1/2+...+1/2^(n-4)]-n/2^(n-4)=4+[4-1/2^(n-2)]-n/2^(n-2)，
——》T2n=16-(n+2)/2^(n-3)，
——》Tn=T1n-T2n=n/2^(n-3)。

Answer 3

①
由题意得，2*S(n-1)=4*a(n-1)-1，(n≥2)。
联立2*S(n)=4*a(n) -1可得：
a(n)=2a(n-1) (n≥2)
当n=2时，有2*[a(2)+a(1)]=4*a(1)-1，解得a(1)=0.5。
有a(n)=[2^(n)]/4n∈N*。
b(n)=b(n-1)-2
b(n-1)=b(n-2)-2
……
b(2)=b(1)-2
累加可得b(n)=b(1)+2-2*n
代入b4+b8=-16可得
b(1)=2
b(n)=-2*n+4
②
c(n)=(2-n)*2^(3-n)
下面不会了。。

Answer 4

追问

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