Question

一道数学题，学霸们快啊，急用！！！

已知抛物线y1=aX平方+bx+c(a不等于0,a不等于c)过点A（1,0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限。

（1）用a,c表示b
（2）判断点B所在象限，并说明理由
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与抛物线交于另一点C(a分之b，b+8)，求当x大于等于1时y1的取值范围
那个前两问我都会，第三问咋求，答案是y大于等于-2

Answer 1

解：

因为y1不过第三像限，则抛物线开口向上，所以a>0

将点A代入y1中可得a+b+c=0........................................................(1)

将点C代入y1中可得a(c/a)²+b(c/a)+c=b-8

整理可得c(a+b+c)=a(b+8)

由（1）得a+b+c=0，且a≠0，所以解得b=-8................................(2)

又由（1）、（2）得c=8-a...........................................................(3)

因为B点为抛物线顶点，可得B（x1，y1）

x1=-b/2a=4/a，y1=a(x1)²+b(x1)+c=c-16/a

再联立（3）i消去c可得B（4/a，8-a-16/a），C（8/a-1，0）

把点A、C代入y2中可得

8-a-16/a=2×(4/a)+m.....................................................................(4)

0=2×(8/a-1)+m.............................................................................(5)

联立（4）、（5）解得a=2，m=-6；或a=4，m=-2

将a代入（3）中可得a=2时，c=6；a=4时，c=4

因为a≠c，所以舍掉第二组解。

即a=2，c=6，m=-6......................................................................(6)

将（2）、（6）代入y1、y2中可得

y1=2x²-8x+6；y2=2x-6

对y1变形为

y1=2(x-2)²-2

当x≥1时，当且仅当x=2时有最小值ymin=-2

所以当x≥1，y1≥-2

Answer 2

（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），
把点代入函数即可得到：b=-a-c；
（2）B在第四象限．
理由如下：∵x1•x2=
c/a
∴x1＝1，x2＝
c/a

，a≠c，
所以抛物线与x轴有两个交点，
又∵抛物线不经过第三象限，
∴a＞0，且顶点在第四象限；
（3）∵C(
c/a，b+8)，且在抛物线上，当b+8=0时，解得b=-8，
∵a+c=-b，
∴a+c=8，把B（-
b
2a
，
4ac−b2
4a
）、C（
c
a
，b+8）两点代入直线解析式得：
b+8＝2×
c
a
+m
4ac−b2
4a
＝2×(−
b
2a
)+m
b＝−a−c＝−8解得：
a＝2
b＝−8
c＝6或
a＝4
b＝−8
c＝4
m＝−2
m＝−6（a≠c，舍去）
如图所示，C在A的右侧，
∴当x≥1时，y1≥
4ac−b2
4a
＝−2

追问

虽然我看不懂..........但还是谢谢你啊

追答

没关系

Answer 3

能说明白一点吗。。

追问

额，哪不明白？

追答

解：因为y1不过第三像限，则抛物线开口向上，所以a>0将点A代入y1中可得a+b+c=0........................................................(1)将点C代入y1中可得a(c/a)²+b(c/a)+c=b-8整理可得c(a+b+c)=a(b+8)由（1）得a+b+c=0，且a≠0，所以解得b=-8................................(2)又由（1）、（2）得c=8-a...........................................................(3)因为B点为抛物线顶点，可得B（x1，y1）x1=-b/2a=4/a，y1=a(x1)²+b(x1)+c=c-16/a再联立（3）i消去c可得B（4/a，8-a-16/a），C（8/a-1，0）把点A、C代入y2中可得8-a-16/a=2×(4/a)+m.....................................................................(4)0=2×(8/a-1)+m.............................................................................(5)联立（4）、（5）解得a=2，m=-6；或a=4，m=-2将a代入（3）中可得a=2时，c=6；a=4时，c=4因为a≠c，所以舍掉第二组解。即a=2，c=6，m=-6......................................................................(6)将（2）、（6）代入y1、y2中可得y1=2x²-8x+6；y2=2x-6对y1变形为y1=2(x-2)²-2当x≥1时，当且仅当x=2时有最小值ymin=-2所以当x≥1，y1≥-2