Question

设f(x)=eˣsinx，则f⁽⁷⁾(x)=___？

求详细解释下红线部分是如何得到的，以及归纳的过程

Answer 1

f'(x)=e^x(sinx+cosx)=√2e^x(√2/2*sinx+√2/2*cosx)=√2e^x(√cosπ/4*sinx+sinπ/4*cosx)
=√2e^x*sin(x+π/4),
即辅助角公式或者说两角和公式，
e^x的导数=本身，e^xsinx的导数=e^x(本身+其导数）
y'=e^x(sinx+cosx)
y''=e^x(cosx-sinx)
y'''=e^x(-sinx-cosx)
y(4)=e^x(-cosx+sinx)
y(5)=e^x(sinx+cosx)=y'
显然具有周期性，且T=4,
故y(7)=y'''=e^x(-sinx-cosx)

Answer 2

这是初中三角函数公式，asinx + bcosx = 根号(a^2+b^2) sin(x +arccos(a/根号(a^2+b^2))