Question

反对称矩阵对角线上的元素一定是0吗？

Answer 1

反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零。

因为反对称矩阵满足 A^T = -A

设A = (aij)

则有 aii = -aii

所以 aii = 0

即主对角线上元素全为0

如果一个方阵A∈ Rn×n满足条件A = AT，那么它就是对称的。如果满足A = −AT则A是反对称的。很容易证明，任何矩阵A ∈ Rn×n，A + AT 是对称的，而 A−AT是反对称的。因此，任何方阵A ∈ Rn×n可以表示为一个对称矩阵和反对称矩阵的和。

对于反对称矩阵，主对角线上的元素全为零

而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。

以上内容参考：百度百科-反对称矩阵

Answer 2

反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零。

设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；

设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

实反对称矩阵的性质

性质1：A的主对角线上的元素均为0；

性质2：A的特征值为0或者纯虚数；

性质3：A可以相似对角化；

性质4：两个反对称矩阵合同的充要条件为秩相同；

性质5：奇数阶反对称矩阵的行列式为0；

以上内容参考 百度百科－反对称矩阵