Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE= BD；

如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE= BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．





Answer 1

解：（1）延长BA、CE相交于点F，先证△BEC≌△BEF（ASA）， ∴CE=FE， ∴CE= CF， ∵∠BAC是直角， ∴∠BAD=∠CAF=90°，而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°， ∴∠ACF=∠FBE， 又∵AC=AB， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD=CF，即CE= BD． （2）∠AEB不变为45°． 理由如下：法一：过点A作AH⊥BE垂足为H，作AG⊥CE交CE延长线于G， 先证∠ACF=∠ABD，得△BAH≌△CAG（AAS） ∴AH=AG，而AH⊥EB，AG⊥EG， ∴EA平分∠BEF， ∴∠BEA= ∠BEG=45°． 法二：由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA）， △BAD的面积=△CAF的面积， ∴BDAH=CFAG，而BD=CF， ∴AH=AG，而AH⊥EB，AG⊥EG， ∴EA平分∠BEF，∴∠BEA= ∠BEG=45°．