Question

如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC 于点D，交AB于点G，过D

如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC 于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．

Answer 1

（1）DE与⊙O相切； 理由如下： 连接OD， ∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB； ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD ∥ AC； ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE与⊙O相切． （2）连接OD，OF； ∵DE，AF是⊙O的切线， ∴OF⊥AC，OD⊥DE， 又∵DE⊥AC， ∴四边形ODEF为矩形， ∴EF=OD=3； 在Rt△OFA中，AO 2 =OF 2 +AF 2 ， ∴ AO= 3 2 + 4 2 = 25 =5 ， ∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC-AF-EF=8-4-3=1， ∴CE=1． 答：CE长度为1．