Question

已知F1，F2是双曲线C： x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形MF1F2

已知F1，F2是双曲线C： x2a2?y2b2＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率为______．

Answer 1

记双曲线的焦距为2c，不妨设F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F₁（-c，0），M（0，c），
∴线段MF₁的中点坐标是（-

c

2

，

c

2

）
又∵线段MF₁的中点在双曲线上，
∴

c2 4

a2

?

c2 4

b2

＝1
∴

c2

a2

?

c2

c2?a2

＝4
∴（e²）²-6e²+4=0，
∴e²=3±

5

∵e²＞1，
∴e=

10 + 2

2

故答案为：

10 + 2

2