Question

设函数f（x）=x-1x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______

设函数f（x）=x-1x，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

已知f（x）为增函数且m≠0，
当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，
此时不符合题意．
当m＜0时，有mx?

1

mx

+mx?

m

x

＜0?2mx?(m+

1

m

)?

1

x

＜0?1+

1

m2

＜2x2
因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
所以1+

1

m2

＜2，
即m²＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
故答案为：m＜-1．