Question

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，（1）试求f（x）中的x2的系数的最小

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，（1）试求f（x）中的x2的系数的最小值（2）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数（3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.01）

Answer 1

（1）根据题意得：

C

1 m

+

C

1 n

=7，即 m+n=7①，
f（x）中的x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m?1)

2

+

n(n?1)

2

=

m2+n2?m?n

2

．
将①变形为 n=7-m代入上式得：x²的系数为 m²-7m+21=(m?

7

2

)2+

35

4

，
故当m=3，或 m=4时，x²的系数的最小值为9．
（2）当 m=3、n=4时，x³的系数为

C

3 3

+

C

3 4

=5；
当 m=4、n=4=3时，x³的系数为

C

3 4

+

C

3 3

=5．
（3）f（0.003）=（1+0.003）⁴+（1+0.003）³≈

C

0 4

+

C

1 4

×0.003+

C

0 3

+

C

1 3

×0.003=2.02．