Question

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an+1?2n+1+1，(n∈N*)且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an+1?2n+1+1，(n∈N*)且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）若数列{bn}满足bn＝an+2n，求证数列{bn}是等比数列．（3）求满足an＞45×3n的最小正整数n．

Answer 1

（1）解：∵2Sn＝an+1?2n+1+1，(n∈N*)
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差数列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）证明：∵2Sn＝an+1?2n+1+1，
∴2Sn?1＝an?2n+1（n≥2）
两式相减可得2an＝an+1?an?2n
∴an+1＝3an+2n
∵数列{b_n}满足bn＝an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴

b2

b1

＝3
∴数列{b_n}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）解：由（2）知bn＝3n，即an+2n＝3n
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴

an

3n

＝1?(

2

3

)n＞

4

5

，即(

2

3

)n＜

1

5

，
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）