已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(Ⅰ)若a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ

已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(Ⅰ)若a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=2x-1... 已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).(Ⅰ)若a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=2x-1,若存在x1∈(0,+∞),对于任意x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2),求a的取值范围. 展开
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(Ⅰ)∵f(x)=lnx+ax+1(x>0),
∴f′(x)=
ax+1
x
                                              …(1分)
当a=1时,f′(1)=2,f(1)=2;
故y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-2=2(x-1),即2x-y=0;     …(4分)
(Ⅱ)当a≥0时,f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间是(0,+∞);
当a<0时,f′(x)>0,可得0<x<-
1
a
;f′(x)<0,可得0x>-
1
a

∴f(x)的单调增区间是(0,-
1
a
),单调减区间为(-
1
a
,+∞);      …(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x1)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x1)>f(0)=1,
∵g(x)=2x-1,在[0,1]上单调递增,则g(x2)≤g(1)=1,
因此,当a≥0时,一定符合题意;                                   …(11分)
当a<0时,f(x)的单调增区间是(0,-
1
a
),单调减区间为(-
1
a
,+∞),
∴f(x)max=f(-
1
a
)=ln(-
1
a

由题意知,只需满足f(x)max≥g(x)max=g(1)=1,
∴ln(-
1
a
)≥1,
∴-
1
e
≤a<0
综上:a≥-
1
e
.                                                 …(14分)
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