Question

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）求△ABO的面积的最小值及其这时的

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程；（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．

Answer 1

（1）设A（a，0），B（0，b）（a＞3，b＞2），
则直线l的方程为：

x

a

+

y

b

＝1（1分）
∵直线l过点P（3，2），∴

3

a

+

2

b

＝1，
∴b＝

2a

a?3

，S△＝

1

2

ab＝

1

2

a?

2a

a?3

＝

a2

a?3

（1分）
=(a?3)+

9

a?3

+6≥2

(a?3)? 9 a?3

+6＝12（1分）
当且仅当

a＞3 a?3＝ 9 a?3

，即a=6时，（S_△）_min=12（1分）
直线l的方程为：

x

6

+

y

4

＝1，即2x+3y-12=0（1分）
（2）∵

3

a

+

2

b

＝1 (a＞3，b＞2)
∴a+b＝(a+b)?1＝(a+b)?(

3

a

+

2

b

)（1分）
=3+

2a

b

+

3b

a

+2≥5+2

2a b ? 3b a

＝5+2

6

（2分）
当且仅当

3 a + 2 b ＝1 2a b ＝ 3b a a＞3，b＞2

，即

a＝3+ 6 b＝2+ 6

时，（1分）
(a+b)min＝5+2

6

（1分）