Question

已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式

已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）由题意得f'（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a＝?

1

3

，b＝0，因此f（x）的解析表达式为f(x)＝?

1

3

x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)＝?

1

3

x3+2x，
所以g'（x）=-x²+2，令g'（x）=0
解得x1＝?

2

，x2＝

2

则当x＜?

2

或x＞

2

时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间(?∞，?

2

]，[

2

，+∞)上是减函数，
当?

2

＜x＜

2

时，g′(x)＞0，
从而g（x）在区间[?

2

，

2

]上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x＝1，

2

，2时取得，
而g(1)＝

5

3

，g(

2

)＝

4 2

3

，g(2)＝

4

3

，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为g(

2

)＝

4 2

3

，最小值为g(2)＝

4

3

．