Question

已知非零数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2

已知非零数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（Ⅱ）设cn=an?bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式nTn＞a?2n+6n对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1．
∵a_n≠0，∴

an

an?1

＝2，
∴数列{a_n}是等比数列，
又由 a₁=S₁=2a₁-2，解得 a₁=2
∴an＝2n．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n?b_n=（2n-1）?2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）?2ⁿ
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）?2ⁿ+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2?2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6．
∵不等式nT_n＞a?2ⁿ+6n对任意的n∈N^*恒成立，即n[（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6]＞a?2ⁿ+6n．
亦即a＜4n²-6n恒成立．
∵f（n）=4n²-6n=4(n?

3

4

)2?

9

4

≥f（1）=-2．
∴a＜-2．
∴a的取值范围是（-∞，-2）．