Question

求解本题，详细过程

高等数学 大学数学

Answer 1

这道题看起来好像很难的样子，但其实呢是特别简单的，只要你找到他的突破口就非常容易解决了。嗯，你可以分子分母同加上那个。分母的减数。得到的极限是等于一的。也可以分子分母头减去分母的被减数。那样得到的极限也等于一的。语言极限是在这两个极限之间的。迫敛性。可以知道原极限等于一了。

Answer 2

解法之一的详细过程如下：

记 φ(x)＝(1+x)¹⸍ˣ，则有

φ'(x)＝(1+x)¹⸍ˣ{1/[x(1+x)]-[ln(1+x)]/x²}

＝φ(x){[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]}，

因为 lim(x->0⁺)φ(x)＝e，并且

lim(x->0⁺)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]

＝lim(x->0⁺)[x-(1+x)ln(1+x)]'/[x²(1+x)]'

＝lim(x->0⁺)[-ln(1+x)]/(2x+3x²)

＝lim(x->0⁺)(-x)/(2x+3x²)

＝lim(x->0⁺)(-1)/(2+3x)＝-1/2，

所以 lim(x->0⁺)φ'(x)＝e·(-1/2)＝-e/2,

由此又可得

lim(x->0⁺)φ'(2x)＝lim(x->0⁺)φ'(3x)

＝lim(x->0⁺)φ'(4x)＝-e/2，

于是有，原极限等于

lim(x->0⁺)[2φ(x)-φ(2x)-φ(3x)]/[φ(3x)-φ(4x)]

＝lim(x->0⁺)[2φ(x)-φ(2x)-φ(3x)]'/[φ(3x)-φ(4x)]'

＝lim(x->0⁺)[2φ'(x)-2φ'(2x)-3φ'(3x)]/[3φ'(3x)-4φ'(4x)]

＝[0-3(-e/2)]/[3(-e/2)-4(-e/2)]

＝3.