Question

泰勒公式中关于佩亚诺余项的问题

我看到书上写sinx = x - x3/6 + o(x3)，而且sinx= x - x3/6 + o(x4)也成立，请问为什么两个都可以
还有e的x2 = 1 + x2 + x4/2 + o(x5) 可以写为1 + x2 + x4/2 + o(x4)吗？
我想搞清楚的是泰勒展开式中的佩亚诺余项是如何求的呢？
我想知道如果一个函数f(x)展开到x^n,那么佩亚诺余项一定是o(x^n)吗？

Answer 1

sinx＝x－x3/6＋o(x3) 和 sinx＝x－x3/6＋o(x4) 都可以。
因为sinx的泰勒公式的下一项是x5/5!，它比x3、x4都高阶，所以这个地方写o(x3)还是o(x4)都可以。
不过如果题目是让你写出sinx的泰勒公式，这个地方还是根据前面展开式的最后一项－x3/6决定使用o(x3)。如果使用泰勒公式求极限，那么最后是用o(x3)还是o(x4)要根据题目决定。

类似地，e的x2 ＝1＋x2＋x4/2＋o(x5) 和 1＋x2＋x4/2＋o(x4)都可以。因为e的x2的泰勒公式的下一项是x6/6，比x4、x5都高阶。

一般地，如果一个函数f(x)展开到x^n，佩亚诺余项写作o(x^n)。

Answer 2

第一个是展开到第二项就没展开了，第二个多展开了一项，这说明第二个展开式相对于第一个更精确，更接近于sin x。就像1.00和1.0000的区别一样。

不可以。o（x5）表示它前面展开了四项，第五项之后才为余项；
而o（x4）只是表示前面展开了三项。第四项后就是余项了。
可以这么理解：
泰勒展开是把一个函数用无数多个多项式来表示，所以用有限项来表示永远是不精确的。余项就是有限展开式和原函数之间的差。
皮亚诺余项的公式忘记了 你搜一下应该搜到的。

Answer 3

晕，写了那么多，原来这里屏蔽wei基百科的东西。

公式链接发不上来，自己搜索一下泰勒公式。

我简单给你讲一下。

第一题，你用的是sinx在0点处的幂展开的带有佩亚诺型余项的3阶泰勒公式和4阶泰勒公式。但是因为sinx4阶导数也是sinx，在0处是0，所以这项没有，也就是sinx的泰勒展开，奇数项（或者说偶次幂项）是没有的。所以自然相等。

第二题，我觉得和第一题差不多。e的x2的五阶导数在0处是0，那么第六项是没有的，所以我觉得也应该想到。

第三个问题，自己看看书，或者搜索公式好了。写起来太麻烦了。

还有0（x^n）就是指在0处的高阶无穷小，无穷小量在特定条件下是可以省略的，就是约等于了。指数越高，就越小

Answer 4

1.因为sinx展开成幂级数之后没有x^4项。也就是说- x3/6后面跟的直接就是x^5项。所以sinx-(x-x3/6)当然也是比x^4高阶的无穷小

2.可以。e^(x2) = 1 + x2 + x4/2 + o(x5)说明e^(x2)-(1 + x2 + x4/2)是比x^5高阶的无穷小，那么他自然更是比x^4高阶的无穷小。也就是e^(x2)-(1 + x2 + x4/2)=o(x4)

至于如何求的，偶在这也说不清楚，建议lz还是看书上关于泰勒公式的证明过程吧。这样才能正确的理解

Answer 5

首先你要明白“o”的概念，它是指比（）里更高阶的无穷小。
sin=x-x^3/6+[x^5/120-...]
[]里面的东西是x^5的同阶无穷小，当然可以写成o(x^3)，也可以写成o(x^4)
e指数的一样，不多说。
关于你补充的问题，答案是肯定的，但是像你之前遇到的情况，把它的无穷小的阶数写的更精确一些可能更好些，在你用taylor公式解决极限问题的时候会很有用处。