Question

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer 1

（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE， ∴△DEC≌△AFD； ∴结论①、②成立（1分） （2）结论①、②仍然成立．理由为： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°， 在Rt△ADF和Rt△ECD中 AD=DC ∠ADC=∠DCB CE=DF ， ∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），（3分） ∴AF=DE， ∴∠DAF=∠CDE， ∵∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠ADE+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°， ∴AF⊥DE；（5分） （3）结论：四边形MNPQ是正方形（6分） 证明：∵AM=ME，AQ=QD， ∴MQ ∥ DE且MQ= 1 2 DE， 同理可证：PN ∥ DE，PN= 1 2 DE；MN ∥ AF，MN= 1 2 AF；PQ ∥ AF，PQ= 1 2 AF； ∵AF=DE， ∴MN=NP=PQ=QM， ∴四边形MNPQ是菱形，（8分） 又∵AF⊥DE， ∴∠MQP=90°， ∴四边形MNPQ是正方形．（10分）