Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．（1）试确定四边形ADCE

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵平行四边形DBEC， ∴CE ∥ BD，CE=BD， ∵D为AB中点， ∴AD=BD， ∴CE ∥ AD，CE=AD， ∴四边形ADCE为平行四边形， 又BC ∥ DE， ∴∠AFD=∠ACB=90°， ∴AC⊥DE， 故四边形ADCE为菱形， （2）在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12， ∴BC=4 7 ， ∵D为AB中点，F也为AC的中点， ∴DF=2 7 ， ∴四边形ADCE的面积=AC×DF=24 7 ， （3）应添加条件AC=BC． 证明：∵AC=BC，D为AB中点， ∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°． ∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形， ∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°． ∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）