Question

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N，求证：（1

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N，求证：（1）BM=EF； （2）2CN=DN。

Answer 1

解：（1）证明：过E点作EK⊥BC垂足为K ，过M作MH⊥BC垂足为H   ∴EK∥AH ∵EF是BM的垂直平分线   ∴E是BM中点， ∴EK= AH= ∵M是AD中点     ∴AM=      ∴EK=AM             ∵四边形ABCD是正方形    ∴∠ABC= ∵EF是BM的垂直平分线   ∴∠BEF= ∴∠ABM+∠MBF= ，∠MBF+∠EFB= ∴∠ABM=∠EFB                               在△ABM和△EFK中，AM=EK，∠ABM=∠EFB，∠A=∠EKF= ∴△ABMC≌△EFK (AAS)                       ∴AB= EF                                       （2）设正方形边长为单位1，CF=x，HF=            则BF=MF=1+x，在Rt△MHF中， 由勾股定理得：                         ∴    。