Question

如图所示，在△ABC中，PG为BC边的垂直平分线．且∠PBC= 1 2 ∠A，BP的延长线交AC于点D，CP的

如图所示，在△ABC中，PG为BC边的垂直平分线．且∠PBC= 1 2 ∠A，BP的延长线交AC于点D，CP的延长线交AB于点E．求证：BE=CD．

Answer 1

证明：证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点， 则∠PFB=∠PMC=90°． ∵PG是BC的垂直平分线， ∴PB=PC． 在△PBF和△PCM中， ∠PFB=∠PMC ∠BPF=∠CPM PB=PC ， ∴△PBF≌△PCM（AAS）， ∴BF=CM； ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB= 1 2 ∠BPE． ∵∠PBC= 1 2 ∠A， ∴∠A=∠BPE． ∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°， ∴∠AEP+∠ADP=180°． 又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°， ∴∠BEF=∠CDM． 在△BEF和△CDM中， ∠BEF=∠CDM ∠BFE=∠CMD BF=CM ， ∴△BEF≌△CDM（AAS）． ∴BE=CD．