Question

已知等比数列{an}的首项a1=2013，公比q=-12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．（1）证明：S2≤Sn

已知等比数列{an}的首项a1=2013，公比q=-12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn．（1）证明：S2≤Sn≤S1；（2）求n为何值时，Tn取得最大值；（3）证明：若数列{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，…，dn，则数列{dn}为等比数列．

Answer 1

（1）证明：∵Sn＝S1+

a2[1?(? 1 2 )n?1]

1?(? 1 2 )

＝S1?

1

3

a1[1?(?

1

2

)n?1]≤S1，
当n=1时，等号成立；
同理Sn＝S2+

a3[1?(? 1 2 )n?2]

1?(? 1 2 )

＝S2+

1

6

a1[1?(?

1

2

)n?2]≥S2，
当n=2时，等号成立，
∴S₂≤S_n≤S₁．
（2）解：∵

|Tn+1|

|Tn|

＝

|a1?a2…an?an+1|

|a1?a2…an|

＝|an+1|＝

2013

2n

．
又∵

2013

211

＜1＜

2013

210

，
∴当n≤10时，|T_n+1|＞|T_n|，
当n≥11时，|T_n+1|＜|T_n|．
∴当n=11时，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，
∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的较大者，
又∵

T12

T9

＝a10?a11?a12＝[2013?(?

1

2

)10]3＞1，
∴T₁₂＞T₉．因此当n=12时，T_n最大．
（3）证明：∵an＝2013?(?

1

2

)n?1，
∴|a_n|随n增大而减小，a_n奇数项均正，偶数项均负，
①当k