Question

已知函数f（x）=|2x-1|+ax．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≥|x-2|；（Ⅱ）若f（x）≥x-12在R上恒

已知函数f（x）=|2x-1|+ax．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≥|x-2|；（Ⅱ）若f（x）≥x-12在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，关于x的不等式f（x）≥|x-2|即|2x-1|+2x≥|x-2|，
即|2x-1|-|x-2|+2x≥0．
∴

x≥2 2x?1?(x?2)+2x≥0

①，或

1 2 ≤x＜2 2x?1?(2?x)+2x≥0

②，或 

x＜ 1 2 1?2x?(2?x)+2x≥0

．
解①求得x≥2，解②求得

3

5

≤x＜2，解③求得x∈?．
综上可得，不等式的解集为[

3

5

，+∞）．
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，即|2x-1|+ax≥x-

1

2

在R上恒成立，
即|2x-1|+

1

2

≥（1-a）x．
故函数h（x）=|2x-1|+

1

2

的图象应该在直线y=（1-a）x的上方或重合．
如图所示：
∴0≤1-a≤1，或-2≤1-a＜0，解得 0≤a≤1，或 1＜a≤3，
即a的范围是[0，3]．