Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知，可得

c a ＝ 1 2 ab＝2 3 a2＝b2+c2

，解得a=2，b＝

3

．                         …（4分）
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．                                     …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A₁（-2，0），A₂（2，0），F₂（1，0）．
设P(x0，

y

0

)(x0≠±2)，则3

x

2 0

+4

y

2 0

＝12．
于是直线A₁P方程为 y＝

y0

x0+2

(x+2)，令x=4，得yM＝

6y0

x0+2

；
所以M（4，

6y0

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