Question

如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：⑴试说明：OB∥AC；⑵如图②，若点E、F在BC

如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：⑴试说明：OB∥AC；⑵如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC ，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；⑶在⑵的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB:∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；⑷在⑶的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．

Answer 1

（1）理由见解析；（2）40°；（3）不变，1：2；（4）60．

试题分析：（1）由同旁内角互补，两直线平行证明． （2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA，算出结果． （3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证； （4）由（2）（3）的结论可得． （1）∵BC∥OA， ∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A， ∴∠A+∠O=180°， ∴OB∥AC； （2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°， ∴∠BOA=80°， ∵OE平分∠BOF， ∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA=40°； （3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为： ∵BC∥OA， ∴∠FCO=∠COA， 又∵∠FOC=∠AOC， ∴∠FOC=∠FCO， ∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB=1：2； （4）由（1）知：OB∥AC， 则∠OCA=∠BOC， 由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β， 则∠OCA=∠BOC=2α+β， ∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β， ∵∠OEC=∠OCA， ∴2α+β=α+2β， ∴α=β， ∵∠AOB=80°， ∴α=β=20°， ∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60．