Question

（本题满分15分）在平面内，已知椭圆 的两个焦点为 ，椭圆的离心率为 ， 点是椭圆上任意一点， 且

（本题满分15分）在平面内，已知椭圆 的两个焦点为 ，椭圆的离心率为 ， 点是椭圆上任意一点， 且 ，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：解：（1）由题意得 ，   方程为：                                   ---------------------5分 （2）设 的直线方程为设 ，（不妨设 ） 由 得 ，    ----------------------7分   由 得 ，即 ，即 或 所以，存在3个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为         ………15分 注：求出 的给2分 点评：解决该试题的关键是熟练运用椭圆的性质得到a,b,c的关系，进而得到其方程，同时联立方程组，结合韦达定理来求解探索性问题，属于中档题。