Question

已知函数f（x）=13x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-113）处的切线斜率为-4，（1）求f（

已知函数f（x）=13x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-113）处的切线斜率为-4，（1）求f（x）的表达式．（2）求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²-bx，
∴f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，-

11

3

）处的切线斜率为-4，
∴f′（1）=-4，f（1）=-

11

3

，
∴1+2a-b=-4．①，

1

3

+a-b=?

11

3

，即a-b+4=0．②
由①②解得a=-1，b=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或3．
∴在x∈[-3，6]上，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-9	单调递增↗	极大值 5 3	单调递减↘	极小值-9	单调递增↗	18

∴当x∈[-3，6]时，f（x）_max=f（6）=18，
f（x）_min=f（3）=f（-3）=-9．