Question

已知等差数列数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=

已知等差数列数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q． （Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=3bn-λ?2 an3（λ∈R），若{cn}满足：cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴

q+3+a2＝12 3+a2＝q2

，消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a2＝q2?3＝32?3＝6，则d=a₂-a₁=6-3=3，
从而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn＝b1qn?1＝3n?1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，bn＝3n?1，∴cn＝3bn?λ?2

an

3

＝3n?λ2n．
∵c_n+1＞c_n对任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ?2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ?2ⁿ恒成立，
整理得：λ?2ⁿ＜2?3ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2?(

3

2

)n对任意的n∈N^*恒成立．
∵y＝2?(

3

2

)x在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin＝2?

3

2

＝3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．