Question

F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2=S△IPF

F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2=S△IPF1-23S△IF1F2，则双曲线的离心率e=______．

Answer 1

解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF₁=

1

2

×|PF₁|×|IF|=

r

2

|PF₁|，
S△IPF₂=

1

2

×|PF₂|×|IG|=

r

2

|PF₂|
S△IF₁F₂=

1

2

×|F₁F₂|×|IE|=

r

2

|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S_△IPF2=S_△IPF1-

2

3

S_△IF1F2，
∴

r

2

|PF₂|=

r

2

|PF₁|-

2

3

|F₁F₂|
两边约去

r

2

得：|PF₂|=|PF₁|-

2

3

|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=

2

3

|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴3a=2c?离心率为e=

c

a

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．