Question

如图所示，让小球从一半径为R=2m的光滑圆弧轨道中的C位置由静止释放，运动到最低点D后，进入粗糙的水平面

如图所示，让小球从一半径为R=2m的光滑圆弧轨道中的C位置由静止释放，运动到最低点D后，进入粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达小孔A进入半径r=0.3m的竖直放置的光滑圆环轨道，当小球进入圆轨道立即关闭A孔．已知两轨道与水平面平滑连接，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，D点与小孔A的水平距离s=2m，g取10m/s2．试求：（1）小球在D点对轨道的压力大小；（2）要使小球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围．

Answer 1

（1）当小球由C到D运动机械能守恒得：mg（L-Lcosθ）=

1

2

m

v

2 D

在D点由牛顿第二定律可得：F_N-mg=m

v 2 D

R

可得：F_N=2mg=10N 
由牛顿第三定律可得小球在D点对轨道的压力大小F_Nˊ=F_N=10N 
（2）小球不脱圆轨道分两种情况：①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，
由动能定理可得：-μ₁mgs=0-）=

1

2

m

v

2 D

可得：μ₁=0.5 
若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下来回摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：
 

1

2

m

v

2 A

=mgr
由动能定理可得：-μ₂mgs=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 D

可求得：μ₂=0.35
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：mg=m

v2

r

由动能定理可得：-μ₃mgs-2mgr=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 D

解得：μ₃=0.125 
综上所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125 
答：（1）小球在D点对轨道的压力大小为10N．  
（2）要使小球能进入圆轨道并且不脱离轨道，粗糙水平面摩擦因数μ的范围为0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125．