Question

请问这道高数极限题目，x趋向于0，x分之一不是没意义吗，答案画圈部分最后怎么化掉的呢？

求大佬详细解答，还有为什么不能用洛必达嘞？

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Answer 1

x趋于0，xcos1/x趋于零。

因为x是无穷小量，cos1/x是有界量。

无穷小量乘以有界量依然是无穷小量。

Answer 2

见下图：

Answer 3

怎么理解lim(x->0)1/x
0分之一有没有意义先不讨论，题目中是无限趋近于0分之一，但并不是0分之一的，为了理解趋近于0分之一你可以想象一下反比例函数的图像，图像是关于原点对称，且在原点附近的函数曲线都是近似于与y轴平行的，所以在x趋近于0时，y是趋近于正负无穷的。
画圈部分怎么消掉的:
用代入法理解
cos1/x＝cos∞，cosx函数值是在±1范围内的，0cos∞＝0×[－1，+1]＝0，这过程运用到了无穷小乘有界等于无穷小。
学高数好几年了，忘得差不多了，学高数，建议在学校找找高数竞赛的辅导资料，那里面总结比较到位，尤其对洛必达法则什么时候该用什么时候不该用。
不理解时，建议画图，数形结合，比较复杂的二维图建议用excl。

Answer 4

分母等价无穷小代换，得
原式 = lim<x→0>[3sinx+x^2cos(1/x)]/(2x)
= lim<x→0>[3sinx/(2x)] + lim<x→0>[xcos(1/x)]/2
(后者是无穷小乘以有界值还是无穷小)
= 3/2 + 0 = 3/2
若用罗比塔法则，越求越繁， 得不出结果。

Answer 5

趋向又不是等于，极限的定义就是趋向
所以只是趋向0，而且是同一个函数，所以可以约掉