Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数（1）

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数（1） 求f（1），f（-1）的值；（2） 求证：f（-x）=f（x）；（3） 解关于x的不等式： f(2)+f(x- 1 2 )≤0 ．

Answer 1

（1）令，则f（1）=f（1）+f（1） ∴f（1）=0（3分） 令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1） ∴f（-1）=0（6分） （2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x） ∴f（-x）=f（x）（10分） （3）据题意可知， f（2）+f（x- 1 2 ）=f（2x-1）≤0 ∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1（13分） ∴0≤x＜ 1 2 或 1 2 ＜x≤1（15分）