Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）过点E作直线EF交AC边于点F，当EF=AF时，求证：直线EF为半圆O的切线；（2）当BD=3时，求线段DE的长．

Answer 1

（本小题满分5分） 证明：（1）连接OE． ∵EF=AF， ∴∠A=∠AEF． ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE． ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°． ∴∠AEF+∠OEB=90°． ∴∠FEO=90°． ∵OE是⊙O半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）∵∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5． ∵BD是直径， ∴∠DEB=90°． ∴∠DEB=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BED ∽ △BCA． ∴ BD AB = DE AC ， ∴ 3 5 = DE 3 ，DE= 9 5 ．