Question

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）若f（x）=lgg（x），判断函数g（x）在（O，1）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

（1）由函数f（x）=log a （1-x）+log a （1+x）（a＞0，a≠1），可得 1+x＞0 1-x＞0 ，解得-1＜x＜1， 故函数的定义域为 （-1，1）． （2）由于函数f（x）=lg（1-x 2 ），且定义域关于原点对称、满足f（-x）=f（x），故函数为偶函数． （3）由于f（x）=lgg（x）=lg（1-x 2 ），∴g（x）=1-x 2 ，显然函数g（x）在（0，1）内单调递减． 证明：设x 2 ＞x 1 ＞0，则 x 2 2 ＞ x 1 2 ＞0，故 0＜1- x 2 2 ＜1- x 1 2 ，故（1- x 2 2 ）＜（1- x 1 2 ）， 即g（x 2 ）＜g（x 1 ），故函数g（x）在（0，1）上是减函数．