Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|．下列四个不等关系：f(sin

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|．下列四个不等关系：f(sinπ6)＜f(cosπ6)；f（sin1）＞f（cos1）；f(cos2π3)＜f(sin2π3)；f（cos2）＞f（sin2）．其中正确的个数是______．

Answer 1

∵f（x）=f（x+2），∴函数的周期T=2
由x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|可得函数的图象如下图，
结合图象可知函数在[0，1]上单调递减，函数的图象关于y 轴对称
∵0＜sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，1＞sin1＞cos1＞0，f(cos

2π

3

)＝f(?

1

2

)＝f(

1

2

)，f(sin

2π

3

)＝f(

3

2

)，
∵f（x）在（0，1）单调递减，故可得，f(sin

π

6

)＞f(cos

π

6

)，
f（sin1）＜f（cos1），f(

1

2

)＞f(

3

2

)即f(cos

2π

3

)＞f(sin

2π

3

)
∵-1＜cos2＜0＜sin2，∴0＜|cos2|＜sin2＜1
∴f（cos2）=f（|cos2|）＞f（sin2）
故答案为：1