Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=43，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．

Answer 1

（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠2=∠1，
∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，
在Rt△OBD中，BD=

1

2

BC=2

3

，
∵OD²+BD²=OB²，
∴（R-2）²+（2

3

）²=R²，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△OBE中，BE=

3

OB=4

3

，
∴S_阴影=S_{四边形OBEC}-S_扇形OBC
=2×

1

2

×4×4

3

-

120?π?42

360

=16

3

-

16π

3

．