Question

如图所示，小物块AB由跨过定滑轮的轻绳相连，A置于倾角为37°的光滑固定斜面上，B位于水平传送带的左端

如图所示，小物块AB由跨过定滑轮的轻绳相连，A置于倾角为37°的光滑固定斜面上，B位于水平传送带的左端，轻绳分别与斜面、传送带平行，传送带始终以速度为v0=2m/s向右匀速运动，某时刻B从传送带左端以速度v1=6m/s向右运动，经过一段时间回到传送带的左端，已知A、B质量为1kg，B与传送带间的动摩擦因素为0.2．斜面、轻绳、传送带均足够长，A不会碰到定滑轮，定滑轮的质量与摩擦力均不计，g取10m/s2，sin37°=0.6，求：（1）B向右运动的总时间；（2）B回到传送带左端的速度；（3）上述过程中，B与传送带间因摩擦产生的总热量．

Answer 1

（1）B向右运动减速运动的过程中，刚开始时，B的速度大于传送带的速度，以B为研究的对象，水平方向B受到向左的摩擦力与A对B的拉力，设AB之间绳子的拉力为T₁，以向左为正方向，得：T₁+μmg=ma₁  ①
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中受力如图，则：

mgsin37°-T₁=ma₁   ②
联立①②可得：a1＝

gsin37°+μg

2

＝

10×0.6+0.2×10

2

＝4m/s2   ③
B的速度与传送带的速度相等时所用的时间：t1＝

v0?v1

a1

＝

?2?(?6)

4

s＝1s
当B的速度与传送带的速度相等之后，B仍然做减速运动，而此时B的速度小于传送带的速度，所以受到的摩擦力变成了向右，所以其加速度也发生了变化，此后B向右运动减速运动的过程中，设AB之间绳子的拉力为T₂，以B为研究的对象，水平方向B受到向右的摩擦力与A对B的拉力，则：
T₂-μmg=ma₂  ④
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中受力如图1，则：
mgsin37°-T₂=ma₂  ⑤
联立④⑤可得：a2＝

gsin37°?μg

2

＝

10×0.6?0.2×10

2

＝2m/s2
当B向右达到最右端时的速度等于0，再经过时间：t2＝

0?v0

a2

＝

0?(?2)

2

s＝1s
B向右运动的总时间：t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）B向左运动的过程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到绳子的拉力，同时，A受到的力也不变，所以它们受到的合力不变，所以B的加速度a3＝a2＝2m/s2
t₁时间内B的位移：x1＝

v0+v1

2

×t1＝

?2?6

2

×1＝?4m，负号表示方向向右；
t₂时间内B的位移：x2＝

0+v0

2

×t2＝

0?2

2

×1＝?1m，负号表示方向向右；
B的总位移：x=x₁+x₂=-4-1=-5m
B回到传送带左端的位移：x₃=-x=5m
速度：v＝

2a3x′

＝

2×2×5

＝2

5

m/s
（3）t₁时间内传送带的位移：x₁′=-v₀t₁=-2×1m=-2m
该时间内传送带相对于B的位移：△x₁=x₁′-x₁=-2-（-4）=2m
t₂时间内传送带的位移：x₂′=-v₀t₂=-2×1m=-2m
该时间内传送带相对于B的位移：△x₂=x₂-x₂′=-1-（-2）=1m
B回到传送带左端的时间为t₃：则t3＝

v?0

a3

＝

2 5 ?0

2

＝

5

s
t₃时间内传送带的位移：x3′＝v0t3＝?2×

5

＝?2

5

m
该时间内传送带相对于B的位移：△x3＝x3?x3′＝5+2

5

m
B与传送带之间的摩擦力：f=μmg=0.2×1×10=2N
上述过程中，B与传送带间因摩擦产生的总热量：Q=f（△x₁+△x₂+△x₃）=2×(2+1+5+2

5

)J＝(16+4

5

)J≈25J
答：（1）B向右运动的总时间是2s；
（2）B回到传送带左端的速度是2

5

m/s；
（3）上述过程中，B与传送带间因摩擦产生的总热量是25J．