Question

已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0

已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）对任意实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，若当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则b的取值范围______．

Answer 1

由题意，∵f（1+x）=f（1-x），
∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴

a

2

＝1即a=2，
∵图象开口方向向下，
∴函数在[-1，1]上单调递增，
∴要使当x∈[-1，1]时f（x）＞0恒成立，则有f（-1）＞0，
∴b＞3，
故答案为：b＞3．