Question

如图甲，空间存在-范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电量为q（q

如图甲，空间存在-范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿加xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A（a，0）点，求v1的大小：（2）若粒子以初速度大小v，沿x轴正方向成30°角入射到第一象限，则第一次经过x轴的时间为多大？（3）若一粒子的初速度大小为v（v＞v1）．为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值．

Answer 1

（1）带电粒子以初速度v₁沿y轴正方向入射后，在磁场中做匀速圆周运动，刚好转过半周到达x轴上的A点，设此时的轨道半径为R₁，有：R₁=

1

2

a       ①
由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有qBv₁=

m v 2 1

R1

  ②
由①②式联立解得：v₁=

qBa

2m

．
（2）T=

2πm

qB

t＝

1

6

T＝

πm

3qB

（3）带电粒子以初速度v入射时，在磁场中仍然做匀速圆周运动，设此时轨道为R，对照②式可知：R=

mv

qB

                 ③
由于v＞v₁，则R＞R₁=a/2，要使其圆轨迹能经过A点，则θ≠90°，绘出粒子的轨迹图如图所示，轨迹圆有两个θ有两个，但圆心都落在OA的中垂线上，设做两个圆周运动的速度入射方向与x轴正方向的夹角分别为θ和θ′，
根据图中几何关系有：sinθ′=sinθ=

a

2R

       ④
由③④式联立解得：sinθ=

Bqa

2mv

答：（1）若粒子以初速度v₁沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A（a，0）点，v₁的大小是

qBa

2m

；
（2）若粒子以初速度大小v，沿x轴正方向成30°角入射到第一象限，则第一次经过x轴的时间为

πm

3qB

；
（3）若一粒子的初速度大小为v（v＞v₁）．为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有2个，对应的sinθ值是

Bqa

2mv

．