Question

不定积分的一个疑问！谢谢！

请问第一步的d2x是凑的什么微分，2x的导数是2，原式里没有2呀只有x，这题为什么不能直接分部积分,非要凑出个1/2? 看我前面红线处

还有分部积分后把x提到dx后不是变成x²了吗？看我后面红线处

谢谢莅临指导！

Answer 1

可以直接分部积分，由于e^2x凑到d后面很容易，特意凑个2x属于多此一举。
∫xe^2xdx=1/2∫xd(e^2x)=1/2·xe^2x-1/2·∫e^2xdx=1/2·xe^2x-1/4·e^2x+C

追问

谢谢，那凑e^2x的导数还是e^2x，那凑的啥呀，2x的导数是2，所以2*1/2=1 1在原式不显示，把e^2x放到dx后面是分部的第一步，不是凑微分吧。我这样理解对不对？

追答

是，这都属于分部积分，e^2x放到d后面只是分部积分的必要步骤，和凑微分两码事。
图中先凑出d2x是为了进一步把e^2x放到d后面，但把e^2x放到d后面一般人一眼就看出来了，没必要先凑一下。

追问

谢谢您，我再消化一下

Answer 2

请看下面的式子
原不定积分=1/2∫xde^(2x)，另外图片里得后续计算应该是-1/4∫e^(2x)d(2x)

Answer 3

追问

谢谢！我还要再思考一下

请问学长1/4 是后面一步的1/2乘以最前面的1/2变的吗？是不是少了个括号？

追答

我那里是分开写的

追问

好的，谢谢！

Answer 4

分部积分法
∫f(x)d[g(x)]=f(x)·g(x)–∫g(x)d[f(x)]
(f(x)，g(x)皆可导)
∫xe^(2x)dx
=1/2 ∫xd(e^(2x))
=1/2 xe^(2x)–1/2 ∫e^(2x)dx
=1/2 xe^(2x)–1/4 e^(2x)＋C

Answer 5

追问

谢谢，看您的说法原来这个2x不是e上面的2x，而是把最前面的x拿到dx后的2x?

谢谢，看您的说法原来这个2x不是e上面的2x，而是把最前面的x拿到dx后的2x?

追答

可以认为 将 e^(2x)d 直接凑成 (1/2)d[e^(2x)]， 再分部积分。
若不易看出时，可先将 dx 凑成 d(2x), 前面自然要乘以 1/2.
然后将 e^(2x)d(2x) 凑成 d[e^(2x)], 再分部积分的。

追问

好的，谢谢您