Question

高数多元函数求解，求大神帮忙六七两题

Answer 1

(x^2+y^2)^(xy)
x,yE(0,1)时，
x^2+y^2>=2xy
lim（2xy)^(xy)<=原式<=lim(x^2+y^2)^[(x^2+y^2)/2]
而：lim(x,y->0) (x^2+y^2)^[(x^2+y^2)/2]与limu^(u/2) u->0时，等价
可设t=u^(u/2)
lnt=u/2 lnu=lnu/[2/u] 分子分母都趋于无穷，极限可用诺不答法则：
limlnt=lim (1/u)/[-2/u^2]=lim(-2u)=0
lnt->0
limt->1
又lim(2u)^u中，可设lnt=uln(2u)=ln(2u)/(1/u) u->0时，(1/(2u))/(-1/u^2)=-u/2 limlnt=-0/2=0
lnt->0 t->1
根居夹逼定理：原式=1

第二题：
z=(x^2+y^2)ln(x^2+y^2)
可设x^2+y^2=u u->0时，
limz=limulnu
=limlnu/(1/u)
=lim(1/u)/(-1/u^2)
=lim(-u)
=0
故孙数f(u)=ulnu在x=0时连续。
又u=x^2+y^2时，x=0,y=0时，u=0是连续的
故原函数在x=0,y=0时连续