Question

高等数学。拉格朗日中值定理 回答对就采纳 要解题步骤

谢谢

Answer 1

设f(x)=arctanx
由题目已知条件可知f(x)在区间[c,d]内满足拉格朗日中值定理
根据定理，有f(d)-f(c)=f '(a)·(d-c) (c<=a<=d)
而f '(a)=1/1+a^2
所以f(d)-f(c)=arctand-arctanc=(d-c)/1+a^2
又因为1/1+d^2<=1/1+a^2<=1/1+c^2
所以 （d-c)/1+d^2<=(d-c)/1+a^2<=(d-c)/1+c^2
即 （d-c)/1+d^2<=arctand-arctanc<=(d-c)/1+c^2

（证明过程中<=为小于等于号）

Answer 2

令f(x)=arctanx
f'(x)=1/(1+x²)，x>0时，f'(x)为减函数
拉格朗日定理：存在c<ξ<d，满足f'(ξ)=f(d)-f(c)/(d-c)=arctand-arctanc/(d-c)
减函数性质：f'(d)<f'(ξ)<f'(c)，
f'(d)=1/(1+d²)，f'(c)=1/(1+c²)
所以有1/(1+d²)<arctand-arctanc/(d-c)<1/(1+c²)
d-c>0，同乘d-c就证明出来了

Answer 3

设：arctan(x)=f(x)
当0<c<d
存在t,使(d-c)f'(t)=f(d)-f(c) tE[d,c]
f'(x)=1/(1+x^2)
即：
[d-c][1/(1+t^2)]=arctand-arctanc
等式左边，d-c>0 1/(1+c^2)>=1/(1+t^2)>=1/(1+d^2) (因为c=<t=<d)
所以：(d-c)/(1+d^2)<=arctand-arctanc<=(d-c)/(1+c^2)