Question

急求高数下：曲线积分3x2ydx+（x3+x-2y）dy，其中，L是第一象限中从点（0，0）

曲线积分3x2ydx+（x3+x-2y）dy，其中，L是第一象限中从点（0，0）沿圆周x2+y2=2x到点（2，0），再沿圆周x2+y2=4到点（0,2）的曲线段。

Answer 1

如图所示：

用格林公式计算最方便，所求的路径是图中L1+L2的部分，取逆时针.

留意这里补上直线L3，与L1和L2方向一致，取逆时针方向，所以这三条线围成封闭面积D.

对三个路径组成的封闭面积D转换成格林公式化简后，再减去在L3上的路径积分，结果L1+L2部分的路径积分结果了，没有难度.

Answer 2

补充有向线段，然后利用格林公式，二重积分被积函数为1，利用圆的面积公式，不用积分。补充线段的积分很好做。

Answer 3

格林公式：∮Mdx + Ndy = ∬(∂N/∂x - ∂M/∂y)dA (闭合回路的线积分转化为面积分）
为此，补充一线段L1：（0, 2) --> (0, 0)
原曲线积分 = ∬(∂N/∂x - ∂M/∂y)dA - ∫{L1} Mdx + Ndy
代入具体函数：∬dA -∫[2,0] (-2y)dy = (π/4)(2^2) - π/2 + y^2|[2,0] = π/2 - 4