Question

已知三角形ABC面积是4，点E，F分别在边AB，AC上，且向量EF=三分之二向量BC，若P为线段EF上的一动点，则？

已知三角形ABC面积是4，点E，F分别在边AB，AC上，且向量EF=三分之二向量BC，若P为线段EF上的一动点，则向量PB×向量PC+向量BC平方的最小值是多少？

Answer 1

作AD⊥BC于D,交EF于G,设BC=a,
则△ABC面积=(a/2)AD=4,
AD=8/a.
向量EF=(2/3)BC,
所以EF∥BC,EF/BC=AE/AB=2/3=AG/AD

所以AG=(2/3)AD,DG=(1/3)AD=8/(3a),
以BC为x轴，过B垂直于BC的直线为y轴，建立直角坐标系，则C(a,0),
设A(m,8/a),P(x,8/(3a))(m/3≤x≤(m+2a)/3),则
向量PB=(0,0)-(x,8/(3a))=(-x,-8/(3a)),
同理向量PC=(a,0)-(x,8/(3a))=(a-x,-8/(3a)),
w=向量PB*PC+BC^2
=(-x,-8/(3a))*(a-x,-8/(3a))+a^2
=-x(a-x)+64/(9a^2)+a^2
=(x-a/2)^2+3a^2/4+64/(9a^2)
≥3a^2/4+64/(9a^2)(当x=a/2时取等号)
≥2√[3a^2/4*64/(9a^2)]
=8√3/3，当3a^2/4=64/(9a^2),a=4*3^(1/4)/3时取等号，
于是m/3≤a/2≤(m+2a)/3,
-a/2≤m≤3a/2,a=4*3^(1/4)/3时w取最小值8√3/3，为所求。
注：向量PB×向量PC宜改为向量PB*向量PC.