Question

定积分与不定积分的区别和联系如题

Answer 1

假设F(x)是f(x)的原函数之一且其曲线通过点(x0,F(x0))，dF(x)/dx=f(x)-->f(x)dx=dF(x)-->不定积分∫f(x)dx=∫dF(x)，dF(x)可以理解为x增量为dx时F(x)的增量，那么就可以通过点(x0,F(x0))找到F(x)的下一个点(x0+dx,F(x0)+dF(x0))，简写作(x1,F(x1))，接着又可以找到再下一个点(x1+dx,F(x1)+dF(x1))，如此类推，找到所有的点然后连起来，就是F(x)的曲线，所以不定积分符号∫的意义是原函数F(x)所有点的“集合”，也就是F(x)。
而定积分∫f(x)dx=∫dF(x)【x=a~b】，相当于∑dF(x)【x=a~b】，定积分符号∫的意义是【x=a~b】这个区域间每一段dF(x)的“和”，很明显就等于F(b)-F(a)。
综上所述，在不定积分里，∫表示“集合”，但在定积分里，∫表示“和”，是两个不同的概念。
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说形象点，不定积分就是根据导函数f(x)的图形为波动程度绘制出原函数F(x)的图形，而定积分则是F(x)图形上两点间的垂直落差F(b)-F(a)，即累计波动值。