Question

请问怎么求解∫[1/(x²+x+1)²]dx呢？

如题，感谢

Answer 1

用三角换元，详细过程如下图片，最后的结果返代可以验算一下

Answer 2

利用配方

x^2+x+1=(x+1/2)^2 + 3/4
令
x+1/2 = (√3/2)tanu
两边求微分
dx=(√3/2)(secu)^2 du
//
∫dx/(x^2+x+1)^2
代入以上转换
=∫(√3/2)(secu)^2 du / [(9/16)(secu)^4]
=(8√3/9)∫ (cosu)^2 du
=(4√3/9)∫ (1+cos2u) du
=(4√3/9)[u+(1/2)sin2u] +C
=(4√3/9){ arctan[(2x+1)/√3]+ √3(2x+1)/[4(x^2+x+1)] } +C